När börjar man med algebra

Vi besitter inom tidigare del gått igenom hur man förenklar formulering samt hur man löser ekvationer. en verktyg likt förmå artikel mot massiv hjälp då man utför dessa förenklingar samt löser dessa ekvationer existerar den räknelag vilket kallas på grund av den distributiva lagen.

Låt yttra för att man besitter en anförande vilket man önskar multiplicera tillsammans ett parentes. Denna parentes innehåller flera begrepp. Den distributiva lagen säger då, på grund av för att multiplicera talet tillsammans med parentesen måste man multiplicera talet tillsammans varenda term likt finns inom parentesen. oss börjar tillsammans en exempel:

Exempel 1:

Låt yttra för att oss äger \(5\) godisskålar. inom varenda godisskål finns detta \(4\) geléhallon samt \(7\) kolor. Hur flera godisar äger oss sammanlagt? Detta bekymmer förmå man åtgärda vid flera vis.

Ett sätt existerar för att addera godisarna inom ett kopp samt multiplicera den summan tillsammans antalet skålar, detta önskar yttra man kalkylerar följande:

$$5\cdot (4+7)$$

Ett annat sätt existerar för att man ursprunglig beräknar ut hur flera geléhallon man äger, sen beräknar man ut hur flera kolor såsom finns. Slutligen adderar man antalet geléhallon tillsammans med antalet kolor. Den beräkningen ser ut sålunda här:

$$5\cdot 4+5\cdot 7$$

Oavsett vilket från dem numeriskt värde beräkningssätten man använder därför bör man komma fram mot identisk svar, sålunda man är kapabel nedteckna nästa likhet:

$$5\cdot (4+7)=5\cdot 4+5\cdot 7$$

Geometrisk struktur från distributiva lagen

Likheten inom “Exempel 1” ovan existerar en modell vid den distributiva lagen. Allmänt är kapabel man notera den distributiva lagen som

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Där \(a\), \(b\) samt \(c\) existerar slumpmässiga anförande. till för att ett fåtal förbättrad medvetande förmå oss illustrera distributiva lagen tillsammans med hjälp från geometri:

Vi ser för att \(a\cdot(b+c)\) motsvarar enstaka yta vilket existerar lika massiv liksom summan från ytorna \(a\cdot b\) samt \(a\cdot c\).

Det förmå ju existera därför för att man äger fler än \(2\) begrepp inom parentesen, dock detta gäller ständigt för att den faktor likt multipliceras tillsammans parentesen måste multipliceras tillsammans med samtliga termer.

Minustecken framför ett parentes

När man önskar multiplicera in en anförande inom ett parentes existerar detta viktigt för att man kommer minnas för att multiplicera talet tillsammans varenda begrepp liksom finns inom parentesen. Ytterligare enstaka sak liksom existerar nödvändig för att notera existerar angående detta finns en minustecken framför parentesen sålunda kommer samtliga indikator inom parentesen ändras då talet multipliceras in. Låt oss ta en modell då oss besitter en minustecken framför ett parentes.

Exempel 2:

Alma äger en födelsedagskalas samt detta existerar \(15\) ungar vid kalaset. Plötsligt ringer detta vid dörren samt ett mamma/pappa kommer på grund av för att plocka upp eller ta små människor. Föräldern bör plocka upp eller ta sina egna tre ungar samt sina \(2\) kusinbarn. Hur flera små människor kommer existera kvar vid kalaset efter för att föräldern åkt?

Även denna plats förmå man beräkna vid olika sätt, angående man ursprunglig beräknar ihop hur flera små människor vilket bör hämtas sammanlagt samt sen subtraherar detta ifrån antalet små människor vid kalaset får man nästa uttryck:

$$15-(3+2)$$

Det andra sättet man kunna utföra existerar för att ursprunglig subtrahera förälderns egna små människor samt sen subtrahera dem numeriskt värde kusinbarnen likt även bör hämtas. Då ser beräkningen ut därför här:

$$15-3-2$$

Båda dessa formulering beskriver identisk situation, då man önskar beräkna hur flera ungar vilket kommer existera kvar vid kalaset. Därför gäller nästa likhet:

$$15-(3+2)=15-3-2$$

Här förmå man titta för att den enda skillnaden då parentesen försvann plats för att tecknen inom parentesen ändrats. Innan fanns både tvåan samt trean positiva samt idag existerar dem båda negativa. oss är kapabel titta detta såsom för att oss multiplicerat varenda anförande inom parentesen tillsammans \(-1\), detta önskar yttra vår beräkningen besitter varit \(15+(-1\cdot 3)+(-1\cdot 2)=15-3-2\)

Hade oss haft minustecken inom parentesen skulle dessa bli plus angående detta plats en minus framför parentesen, detta då produkten från numeriskt värde minustecken blir en plus. Exempelvis \((-1)\cdot(-1)=1\).

De numeriskt värde viktigaste sakerna för att komma minnas då man multiplicerar en anförande tillsammans med enstaka parentes existerar alltså följande:

• Multiplicera talet tillsammans med samtliga begrepp inom parentesen
• Om detta står en minustecken framför parentesen därför kommer samtliga indikator inom parentesen för att ändras, plus blir minus samt minus blir plus.

Faktorisering tillsammans den distributiva lagen

Tidigare äger oss främst fokuserat vid hur man fullfölja således för att en formulering vid formen \(a(b+c)\) blir mot en formulering utan faktorer, detta önskar yttra detta skrivs istället liksom \(ab+ac\). Ibland önskar man faktorisera en formulering, detta önskar yttra man går ifrån \(ab+ac\) mot \(a(b+c)\). Då måste man titta mot för att dem olika termerna besitter enstaka gemensam faktor vilket man är kapabel avbryta ut. en sätt för att titta vid detta existerar för att detta måste finnas en anförande vilket är kapabel dela varenda begrepp jämnt. oss tar en exempel:

Låt oss ta nästa uttryck:

$$2x^2+6x$$

Det på denna plats uttrycket önskar oss faktorisera sålunda långt såsom möjligt. Därför önskar oss titta ifall detta finns något anförande såsom båda begrepp existerar delbara med? detta går ganska enkel för att titta för att varenda faktorer innehåller \(x\) samt detta skulle därför artikel möjligt för att dividera båda begrepp tillsammans \(x\):

$$\begin{equation}
\begin{split}
&\text{Första term:} &\,\, \frac{2x^2}{x} &= 2x\\ \\
&\text{Andra term:} &\,\, \frac{6x}{x} &= 6\\
\end{split}
\end{equation}$$

Därför förmå oss avbryta ut faktorn \(x\) ur uttrycket:

$$2x^2+6x=x(2x+6)$$

Vi existerar ej klara var, till angående man tittar vid termerna inom parentesen kunna man titta för att både \(2\) samt \(6\) existerar jämna anförande, således därför är kapabel man även avbryta ut \(2\). oss fullfölja detta samt får då nästa uttryck:

$$2x^2+6x=x(2x+6) = 2x(x+3)$$

Då besitter oss faktoriserat uttrycket sålunda långt vilket möjligt.

När man bör faktorisera en formulering gäller detta alltså för att avbryta ut enstaka faktor likt varenda begrepp inom uttrycket besitter gemensamt. Dessa faktorer kunna man hitta genom för att granska angående detta finns något anförande såsom går för att dela varenda begrepp tillsammans. Finns detta en sådant anförande är kapabel man avbryta ut detta ur uttrycket.

Multiplikation från numeriskt värde parenteser

Det finns även tillfällen då detta ej existerar en anförande likt multipliceras tillsammans ett parentes, utan detta existerar enstaka parentes vilket multipliceras tillsammans med enstaka ytterligare parentes. oss använder oss även då från den distributiva lagen. detta existerar identisk princip likt tidigare; varenda begrepp inom inledande parentesen måste multipliceras tillsammans med samtliga begrepp inom den andra parentesen, vid nästa vis:

Resultatet efter multiplikation från dem numeriskt värde parenteserna ovan ger:

$$(\color{#48A23F}{a}+\color{#009FDF}{b})(c+d)=\color{#48A23F}{a}c+\color{#48A23F}{a}d+\color{#009FDF}{b}c+\color{#009FDF}{b}d$$

Samma sak gäller ifall detta existerar fler än numeriskt värde begrepp inom någon parentes, kom bara minnas för att varenda begrepp inom den en parentesen måste multipliceras tillsammans varenda begrepp inom den andra parentesen!

Vi tar en modell vid hur detta kunna titta ut:

Multiplicera ihop nästa numeriskt värde parenteser:

$$(2+x)(3+x+y)$$

För för att multiplicera ihop parenteserna gäller för att oss mångfaldigar \(2\)an ifrån den inledande parentesen tillsammans med varenda begrepp inom den andra parentesen, samt detsamma gäller på grund av \(x\):et inom den inledande parentesen; detta måste även multipliceras tillsammans med varenda begrepp inom den andra parentesen. oss får då följande:

$$\begin{align} (\color{#48A23F}{2}+\color{#009FDF}{x})(3+x+y) &=\\ &= \color{#48A23F}{2}\cdot3+\color{#48A23F}{2}\cdot x+\color{#48A23F}{2}\cdot y+\color{#009FDF}{x}\cdot3+\color{#009FDF}{x}\cdot x+\color{#009FDF}{x}\cdot y=  \end{align}$$

$$\begin{equation} \begin{split} \hspace{4.6cm} &= 6+2x+2y+3x+x^2+xy &=\\ &= x^2+5x+2y+xy+6 \end{split} \end{equation}$$

Användning från den distributiva lagen

Den distributiva lagen kunna man ibland vilja nyttja till för att bli från tillsammans med enstaka parentes samt vandra ifrån för att äga faktorer mot för att äga termer. en modell vid en sådant situation existerar ifall man önskar förenkla nästa uttryck:

$$4x+8(x-2)$$

Om man då använder sig från den distributiva lagen samt mångfaldigar \(8\) tillsammans varenda begrepp inom parentesen blir det:

$$\begin{align} 4x+8x-16 &=\\ &= 12x-16 \end{align}$$

Andra gånger förmå man vilja faktorisera en formulering tillsammans hjälp från den distributiva lagen, detta önskar yttra för att man besitter en formulering likt består från flera begrepp dock man önskar avbryta ut ett faktor vilket dessa begrepp besitter gemensamt. önskar oss förenkla kommande formulering därför använder oss oss från den distributiva lagen vid detta sättet:

$$\frac{2x+4x^2+x^3}{x}$$

Det på denna plats uttrycket äger \(x\) inom samtliga begrepp vilket finns inom bråkets täljare. oss kunna därför avbryta ut \(x\) ut täljaren:

$$\frac{x\cdot(2+4x+x^2)}{x}$$

Nu äger oss faktoriserat täljaren samt då både täljare samt nämnare äger enstaka faktor \(x\) därför tar dessa numeriskt värde ut varandra. Kvar får oss då

$$2+4x+x^2$$

Den distributiva lagen existerar därför väldigt användbar, både då man önskar bli från tillsammans med parenteser samt då man önskar faktorisera en formulering. Distributiva lagen förmå även användas nära huvudräkning.

Exempel 3:

Vi önskar beräkna \(5\cdot14\). tillsammans hjälp från distributiva lagen förmå oss nedteckna angående \(14\) likt summan från \(10\) samt \(4\). Detta ger:

$$\begin{equation} \begin{split} 5\cdot14 &=\\ &= 5\cdot(10+4) &=\\ &= 5\cdot10+5\cdot4 &=\\ &= 50+20 &=70 \end{split} \end{equation}$$

Exempel 4:

Vi önskar beräkna \(5\cdot98\). tillsammans hjälp från distributiva lagen är kapabel oss nedteckna angående \(98\) såsom differensen mellan \(100\) samt \(2\). Detta ger:

$$\begin{equation} \begin{split} 5\cdot98 &=\\ &= 5\cdot(100-2) &=\\ &= 5\cdot100-5\cdot2 &=\\ &= 500-10 &=490 \end{split} \end{equation}$$

Huvudregeln existerar för att försöka ta närmaste \(10\)-, \(100\)-, \(1000\)-, osv, anförande eftersom detta existerar enkelt för att multiplicera tillsammans med dem. Sedan lägger oss mot alternativt drar försvunnen resten.

Det finns några saker såsom existerar viktiga för att anlända minnas då man använder sig från distributiva lagen:

• Ska man multiplicera in en anförande inom ett parentes måste detta anförande multipliceras tillsammans varenda begrepp inom parentesen.
• Ska man multiplicera ihop numeriskt värde parenteser måste varenda begrepp inom den inledande parentesen multipliceras tillsammans varenda begrepp inom den andra parentesen.
• För för att behärska faktorisera en formulering likt består från begrepp därför måste samtliga begrepp äga detta man bryter ut gemensamt. varenda begrepp måste exempelvis behärska divideras tillsammans med \(2\) på grund av för att man bör behärska avbryta ut \(2\).
• Finns detta en minustecken framför ett parentes samt man bör utföra sig från tillsammans parentesen kommer samtliga indikator inom parentesen för att förändras, detta önskar yttra plus blir minus samt minus blir plus.