Vilken area har lila området

I detta denna plats avsnittet bör oss vandra igenom enstaka ytterligare betydande typ från geometrisk figur, nämligen cirklar. oss kommer bland annat för att lära oss hur oss kunna förklara ett cirkel, vad talet pi existerar till något samt hur oss kalkylerar ett cirkels omkrets samt area.

Radie samt diameter

En cirkel existerar ett rund geometrisk figur liksom utgår ifrån ett medelpunkt. vid en visst avstånd ifrån medelpunkten finns vad liksom ibland kallas cirkelns periferi, vilket existerar den rundade kurva såsom bildar själva cirkelns form eller gestalt. Avståndet ifrån medelpunkten mot periferin kallas cirkelns radie (r) samt existerar lika stort oavsett vilken punkt vid periferin oss väljer.

Om oss besitter enstaka rät linje såsom går mellan numeriskt värde punkter vid ett cirkels periferi samt likt passar genom medelpunkten, därför kallar oss den sträckan cirkelns diameter (d).

I figuren denna plats nedanför existerar både radien r samt diametern d markerade.

En cirkels diameter existerar ständigt dubbelt sålunda utdragen vilket cirkelns radie:

$$ d=2r$$

Cirklars omkrets samt talet pi (π)

När oss undersökte omkretsen till fyrhörningar samt trianglar, kom oss fram mot för att dessa figurers omkrets existerar lika tillsammans med summan från sidornas längd.

Men då oss studera cirklar existerar detta ej lika enkelt för att beräkna omkretsen. ifall oss mäter olika cirklars omkrets samt diametrar, således märker oss snart för att oss får identisk kvot varenda gång då oss dividerar ett cirkels omkrets, O, samt cirkelns diameter, d.

Den denna plats kvoten existerar densamma på grund av varenda cirklar samt äger detta ungefärliga värdet 3,14159265, då oss avrundar värdet mot åtta decimaler. detta på denna plats talet existerar många viktigt inom matematiken samt kallas till talet pi, efter den grekiska bokstaven π. Kvoten mellan ett cirkels omkrets samt diameter existerar alltså

$$ \frac{cirkelns\,omkrets}{cirkelns\,diameter}=\pi\approx3,14$$

Med hjälp från definitionen från talet π är kapabel oss nedteckna ett formel på grund av ett cirkels omkrets, O:

$$omkretsen=\pi\cdot diametern$$

$$O=\pi\cdot d$$

Eftersom ett cirkels diameter d ständigt existerar dubbelt sålunda utdragen liksom cirkelns radie r, är kapabel oss även notera formeln på grund av cirkelns omkrets tillsammans hjälp från radien, sålunda här:

$$omkretsen=2\cdot\pi\cdot radien$$

$$O=2\pi r$$

Hur massiv existerar diametern samt omkretsen?

En cirkel äger radien 4 cm.

Beräkna cirkelns diameter samt omkrets. Avrunda mot ett decimal.

Lösningsförslag:

En cirkels diameter existerar dubbelt således massiv likt dess radie. Därför existerar cirkelns diameter 8 cm.

Vi kalkylerar för tillfället cirkelns omkrets i enlighet med formeln:

$$ O=\pi\cdot d=\pi\cdot 8\,cm=8\pi\,cm\approx 25,1\,cm$$

Diametern existerar alltså 8 cm samt omkretsen existerar ungefär 25,1 cm.

Cirklars area

Vi bör för tillfället lära oss hur oss kalkylerar ett cirkels area.

Om oss besitter ett cirkel tillsammans radien r samt placerar den inuti ett kvadrat, således får oss ett figur vilket ser ut därför här:

Beräknar oss kvadratens area, sålunda vet oss ifrån avsnittet ifall fyrhörningar för att den blir följande:

$$ {A}_{kvadrat}=sidan\cdot sidan=2r\cdot 2r=4\cdot r\cdot r=4r^2$$

Vi förmå titta detta såsom för att den denna plats kvadraten består från fyra jämnstora små kvadrater tillsammans sidan r. liksom oss ser inom figuren måste cirkelns area artikel mindre än den stora kvadratens area.

I själva verket existerar cirkelns area lite drygt tre gånger således massiv såsom arean från dem små kvadraterna, såsom oss markerade inom figuren. Närmare bestämt existerar cirkelns area π gånger större än dem små kvadraternas area:

$$ {A}_{cirkel}=\pi\cdot r\cdot r=\pi {r}^{2}$$

Den denna plats formeln på grund av ett cirkels area förmå oss nyttja på grund av varenda cirklar. eftersom talet π ständigt äger identisk värde (det existerar ett konstant), beror ett cirkels area bara vid cirkelns radie.

Cirkelns area

En cirkel besitter radien 4 cm.

Beräkna cirkelns area. Avrunda mot enstaka decimal.

Lösningsförslag:

Vi använder oss från formeln till enstaka cirkels area:

$$ A=\pi\cdot {r}^{2}=\pi\cdot {4}^{2}\,{cm}^{2}=16\pi\,{cm}^{2}\approx 50,3\,{cm}^{2}$$

Cirkelns area existerar alltså ungefär 50,3 cm².

Cirkelsektor

I årskurs 7 kom oss inom avsnittet angående vinklar fram mot för att en helt varv motsvarar 360°.

Ibland är kapabel oss vilja undersöka delar från ett hel cirkel inom form eller gestalt från "tårtbitar", sålunda liksom oss visar inom figuren på denna plats nedanför:

Denna typ från "tårtbitsformad" sektion från enstaka cirkel kallar oss ett cirkelsektor. Hur massiv enstaka cirkelsektor existerar beror vid vinkeln inom mitten från cirkeln, vilket oss kallar medelpunktsvinkeln.

Vi kunna notera ett formel på grund av ett cirkelsektors area, var medelpunktsvinkeln betecknas v, sålunda här:

$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{v}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}$$

Om oss mot modell önskar beräkna arean från ett cirkelsektor vilket äger medelpunktsvinkeln v = 90°, sålunda får oss denna area tillsammans med hjälp från formeln:

$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{{90}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}=\frac{1}{4}\cdot\pi {r}^{2}$$

Vad oss kom fram mot denna plats existerar för att enstaka cirkelsektor liksom äger medelpunktsvinkeln v = 90° äger enstaka area vilket existerar enstaka fjärdedel således massiv liksom kurera cirkelns area. detta denna plats ägde oss även kunnat komma fram mot genom för att 90° existerar identisk sak såsom en fjärdedels varv.

Hur massiv existerar arean?

En cirkel besitter radien 10 cm. inom cirkeln finns enstaka cirkelsektor tillsammans med medelpunktsvinkeln 60°.

Beräkna cirkelsektorns area. Avrunda mot enstaka decimal.

Hur massiv andel från läka cirkelns area utgör cirkelsektorns area?

Lösningsförslag:

Vi känner mot både cirkelns radie samt cirkelsektorns medelpunktsvinkel. Därför kunna oss beräkna områdets area genom för att nyttja oss från formeln på grund av ett cirkelsektors area:

$${A}_{cirkelsektor}={\color{Blue}{ \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}}} \cdot {\color{Red} {\pi \cdot 10^{2}}}\,{cm}^{2}= $$

$$={\color{Blue}{ \frac{1}{6}}}\cdot {\color{Red} {100\cdot\pi}}\,{cm}^{2}\approx52,4\,{cm}^{2}$$

Cirkelsektorns area existerar alltså ungefär 52,4 cm².

Medelpunktsvinkeln 60° utgör ett sjättedel från en helt varv (360°). detta innebär även för att vår cirkelsektors area utgör andelen enstaka sjättedel från den bota cirkelns area.

Videolektioner

Här går oss igenom cirklar.

Här går oss igenom cirkelns omkrets.

Här går oss igenom cirkelns area.

Här går oss igenom cirkelbåge samt cirkelsektor.

I den på denna plats videon går oss igenom cirklar.