Vad är polär form matte 4
Komplexa anförande inom polär form
I detta start avsnittet angående komplexa anförande stötte oss vid för att oss kunna notera komplexa anförande inom rektangulär form eller gestalt, likt z = a + bi, var a samt b existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten. oss äger även sett för att oss förmå företräda en komplext anförande inom detta komplexa talplanet vilket antingen enbart enstaka punkt alternativt enstaka pil liksom går ifrån origo mot punkten.
I detta på denna plats avsnittet bör oss presentera en annat sätt för att entydigt nedteckna komplexa anförande, nämligen inom polär form. för att notera komplexa anförande inom polär struktur fullfölja för att detta blir många enklare för att multiplicera alternativt dividera komplexa tal än ifall oss skulle utföra motsvarande räkneoperationer vid komplexa anförande skrivna inom rektangulär form.
Polär form
Eftersom oss entydigt förmå företräda en komplext anförande, \(z = a + bi\), inom detta komplexa talplanet vilket ett punkt alternativt enstaka pil likt går ifrån origo mot punkten, existerar detta även möjligt för att notera detta komplexa talet utifrån pilens längd mellan origo samt punkten, samt vinkeln mellan pilen samt den reella axelns positiva blad (Re). Skriver oss detta komplexa talet z vid detta sätt således existerar detta skrivet inom polär form.
För för att behärska notera en komplext anförande z inom polär form eller gestalt behöver oss alltså dels pilens längd samt dels vinkeln.
Absolutbeloppet |z|
Pilens längd är kapabel oss beräkna vid motsvarande sätt likt oss utför då oss önskar ta reda vid enstaka vektors längd, detta önskar yttra genom för att oss kalkylerar detta komplexa talets absolutbelopp, |z|. oss kunna forma ett rätvinklig triangel utifrån pilens längd mellan origo samt punkten likt triangelns hypotenusa, samt detta komplexa talets realdel samt imaginärdel vilket respektive katet. på det sättet kunna oss beräkna detta komplexa talets absolutbelopp tillsammans hjälp från Pythagoras sats:
$${|z|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$$
$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$
Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, således blir detta tals absolutbelopp
$$|z|=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$
Argumentet på grund av z
För för att notera detta komplexa talet z inom polär form eller gestalt behöver oss även uppleva mot vinkeln mellan pilen likt går ifrån origo mot punkten samt den reella axelns positiva blad (Re). Denna vinkel kallar oss detta komplexa talets argument, alternativt argumentet till z, vilket oss kunna nedteckna såsom arg z.
Argumentet till z förmå oss beräkna tillsammans hjälp från dem elementär trigonometriska sambanden. ifall oss betecknar vinkeln mellan den reella axelns positiva blad tillsammans v, därför kunna oss på grund av komplexa anförande z inom den inledande kvadranten nedteckna sambandet som
$$\tan\,v=\frac{b}{a}$$
där b existerar imaginärdelen samt a existerar realdelen. Detta ger oss vinkeln
$$v=\arctan\,\left (\frac{b}{a} \right )$$
Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, sålunda blir denna vinkel, såsom inom detta fall även utgör argumentet till z, lika med
$$v=\arctan\,\left (\frac{6}{8} \right )\approx{37}^{\circ}$$
Med dem beteckningar oss äger infört kunna oss hitta formulering till Re z = a samt Im z = b likt enbart beror vid absolutbeloppet |z| samt argumentet på grund av z.
Vi är kapabel skriva
$$\sin\,v=\frac{b}{|z|}$$
vilket ger oss
$$b=|z|\cdot \sin\,v$$
På motsvarande sätt kunna oss skriva
$$\cos\,v=\frac{a}{|z|}$$
vilket ger oss
$$a=|z|\cdot \cos\,v$$
Sammantaget kunna oss alltså notera en komplex anförande z = a + bi som
$$z=|z|\cdot \cos\,v+i\cdot |z|\cdot \sin\,v=$$
$$=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$
vilket existerar z skrivet inom polär form.
Med dem beteckningar oss använder förmå oss titta detta komplexa talet inom detta komplexa talplanet sålunda här:
Skriv nästa komplexa anförande inom polär form.
$$z=-2+i$$
För för att behärska nedteckna talet inom polär struktur behöver oss ta reda vid dels absolutbeloppet från z samt dels argumentet på grund av z. inom nästa figur är kapabel oss titta detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:
Absolutbeloppet från z kalkylerar oss som
$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$$
Argumentet på grund av z blir lite knepigare än tidigare, eftersom vårt komplexa anförande för tillfället ligger inom den andra kvadranten.
Vi kunna forma ett rätvinklig triangel inom den andra kvadranten, till vilken oss besitter ett spetsig vinkel
$$u=\arctan\,\left (\frac{|a|}{|b|} \right )=\arctan\,\left ( \frac{2}{1} \right )\approx {63}^{\circ}$$
Argumentet till z blir lika med
$$v=u+{90}^{\circ}\approx{153}^{\circ}$$
Sammantaget är kapabel oss alltså nedteckna talet z inom polär form eller gestalt som
$$z=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)\approx$$
$$\approx\sqrt{5}\cdot (\cos\,{153}^{\circ}+i\cdot \sin\,{153}^{\circ})$$
Skriv nästa komplexa anförande inom rektangulär form.
$$z=3\cdot (\cos\,{240}^{\circ}+i\cdot \sin\,{240}^{\circ}) $$
För för att behärska nedteckna talet z inom rektangulär form eller gestalt behöver oss ta reda vid dels realdelen samt dels imaginärdelen.
Vi börjar tillsammans för att känna igen detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:
$$|z|=3$$
$$v={240}^{\circ} $$
Att argumentet existerar 240° innebär för att talet ligger inom den tredjeplats kvadranten inom detta komplexa talplanet. Därför är kapabel oss forma enstaka rätvinklig triangel inom den tredjeplats kvadranten, vars hypotenusa äger längden 3 l.e. samt var vinkeln u mellan den reella axelns negativa sektion är
$$u=v-{180}^{\circ}={240}^{\circ}-{180}^{\circ}={60}^{\circ}$$
enligt figuren nedan.
Nu är kapabel oss beräkna längden vid triangelns kateter, |a| samt |b|, vilka kommer för att anta positiva värden:
$$\cos\,{60}^{\circ}=\frac{|a|}{|z|}$$
$$|a|=|z|\cdot \cos\,{60}^{\circ}=3\cdot \cos\,{60}^{\circ}=1,5$$
och
$$\sin\,{60}^{\circ}=\frac{|b|}{|z|}$$
$$|b|=|z|\cdot \sin\,{60}^{\circ}=3\cdot \sin\,{60}^{\circ}\approx2,6$$
Eftersom detta komplexa talet z inom vårt modell ligger inom den tredjeplats kvadranten, måste både realdelen samt imaginärdelen existera negativa, därför oss får
$$a=(-1)\cdot |a|=-1,5 \\b=(-1)\cdot |b|\approx-2,6$$
Därför är kapabel oss alltså notera detta komplexa talet z inom rektangulär form eller gestalt som
$$z\approx-1,5-2,6i $$